曲线坐标系.pdf

第微卷第期年月波学报 ƒ ≤ • ∂ ∂ ∞≥ ≥ 两种正交曲线坐标系单位矢量间的一般表达式 Ξ Γ ενεραλ Ε ξπρεσσιονσ Βετωεεν Υ νιτ ς εχτορσ οφ Τωο Χυρϖιλινεαρ Ορτηογ οναλ Χοορδ ινατε Σψστεμ σ 易辉跃唐斌晏才宏周希朗上海交通大学电子工程系上海 ΨΙ Η υιψυε ΤΑΝΓ Βιν Δ επ αρτμ εντ οφ Ε λεχτρονιχ Ε νγ ινεερινγ =摘要 > ΨΑΝ Χαιηονγ Ζ Η Ο Υ Ξ ιλανγ Σ ηανγ ηαι ϑιαοτονγ Υ νιϖερσιτψ Σ ηανγ ηαι 本文采用不同的分析思路导出了曲线坐标系与直角坐标系单位矢量间简明的解析关系并推广到更一般的情况 ) 任何两种正交曲线坐标系单位矢量间的关系 ∀ 只要一种正交曲线坐标系与直角坐标系或另一种正交曲线坐标系坐标间的单值关系已知利用这些关系式即可得到正交曲线坐标系与直角坐标系或另一种正交曲线坐标系单位矢量间的关系 ∀ 利用文献上已有的正交曲线坐标系坐标间的单值关系文中提供了正交曲线坐标系与直角坐标系及圆柱坐标系单位矢量间的变换矩阵进而可得任何两种正交曲线坐标系单位矢量间的关系 ∀ 关键词正交曲线坐标系单位矢量变换矩阵 Αβστραχτ ≤ ¬ ∏ √ ∏√ √ × ¬ ∏ ¬ ∏√ ∏ • √ √ ¬ ∏√ 2 ∏√ √ ∏ ∏√ ∏ √ ∏ ¬ ∏√ √ ∏√ Κ εψ τερμ σ √ ≤∏√ √ 一! 引 × ¬ 言众所周知根据求解实际电磁场边值问题的需要人们已引出了十多种正交曲线坐标系给出了多种正交曲线坐标系的坐标与直角坐标系! 圆柱坐标系等坐标间的关系并提供了各种坐标系的度量因子拉梅系数 1 2 为在不同坐标系下求解电磁场问题提供了方便∀ 然而由于常见的电磁场边值问题多在三种坐标系直角坐标系! 圆柱坐标系和圆球坐标系下求解因此正交曲线坐标系下的矢量分析也多围绕常见的三种坐标系展开椭圆柱坐标系等十多种坐标 Ξ 收稿日期定稿日期 ∀ 第卷第期易辉跃等两种正交曲线坐标系单位矢量间的一般表达式系中的矢量分析则用得不很多∀ 因正交曲线坐标系中矢量间的关系与其单位矢量间的关系密切故两种正交曲线坐标系下单位矢量间的关系在矢量分析有重要的作用∀本文欲以正交曲线坐标系与直角坐标系单位矢量间关系式的推导为基础采用不同分析思路导出多种正交曲线坐标系与直角坐标系单位矢量间关系的表达式并将此推导思路推广到更一般情况 ) ) 任意两种正交曲线坐标系除直角坐标系外单位矢量间的一般表达式∀ 二! 理论分析 2 1 正交曲线坐标系与直角坐标系单位矢量间的关系假设在一种正交曲线坐标系中 π 点的坐标为 υ υ υ π 点在直角坐标系下的坐标为 ξ ψ ζ 正交曲线坐标系中各坐标间满足右手螺旋关系且有以下的单值函数关系 υ γ ξ ψ ζ υ γ ξ ψ ζ 或 ξ Γ υ υ υ ψ Γ υ υ υ γ ξ ψ ζ ζ Γ υ υ υ δ δ δ 则正交曲线坐标系单位矢量 υ υ υ 和直角坐标系单位矢量 ξδ ψδ ζδ 间的对应关系可表示为 δ δ υ ξ δ δ υ Μ ψ δ δ ζ υ υ 其中 Μ 为变换矩阵∀ Μ 可采用几何投影法! 方向导数法导出∀ 若坐标间满足较为简单的几何关系则采用这两种方法推导较为方便∀ 但当坐标间的几何关系不太明确时采用上述方法则难以奏效∀ 为此本文采用以下两种推导方法∀ 偏导数公式法 ϕ 则在直角坐标系下位置若设 π 点与坐标原点间的位置矢量为 ορ π 点的微分矢移为 δ λ 矢量 ορ 可表示为 ο ρ δ ξξ ϕ 而正交曲线坐标系下微分矢移 δ λ 为 ϕ δλ ο δρ δ δ λυ δ δ λυ δ ψψ δ δ λυ δ ζζ δ υ η δυ δ υ η δυ δ υ η δυ 其中 η η η 分别为相应坐标系的度量因子它们一般是坐标的函数∀ 若将上式写成增量形式则为 ο ∃ρ 保持 υ 和 υ 为常数即 ∃ υ δ υ η ∃υ ∃υ δ υ η ∃υ 则 ο ∃ρ ∃υ δ υη δ υ ο 5ρ η 5υ 对上式取极限则有类似地可得到 υδ 和 υδ 的表达式从而得 δ υι ο 5ρ ηι 5υι ι δ υ η ∃υ 微波学 ο δρ ο 5ρ δυ 5υ 报年全微分公式法思路因 π 点的微分矢移可表示为 ϕ δλ 又考虑到式及式 ο 5ρ 5υ ξ δ 5ξ 5υ δ 5ξ ξ 5υ ο 5ρ 5υ ο 5ρ 5υ ψ ο 5ρ 5υ δ υ δ 5ψ 5υ δ 5ξ ξ 5υ ψ 5ρ 5υ δ 5ψ ψ 5υ Γ ψ Γ ζ Γ 而 ηι δ 5ζ ζ 5υ 5ξ 5υ 5ψ 5υ 5ζ 5υ 5ξ δ ξ η 5υ 5ψ δ ψ η 5υ 5ζ δ ζ η 5υ 5ψ δ ψ ηι 5υι 5ζ δ ζ ηι 5υι Ε κ 5Γ δ ψ 5υι 5Γ κ 5υι Ε 5Γ κ 5υι κ δ 5ζ 5υ δ 5ζ ζ 5υ δ δ υ 和 υ 的表达式可类似得到于是其一般式为 ο 5ρ 5υι 5ξ δ δ υι ξ ψ ηι 5υι 5ρ 5υι 5Γ δ ξ 5υι ζ δ 5ψ ψ 5υ ο 5ρ 5υ ο 5ρ 5υ 所以其中 ξ ο 5ρ δυ 5υ 于是 ορ 关于 υ 的偏导数为因 ξδ ψδ ζδ 是常矢量故有又因 ο 5ρ δυ 5υ 5Γ δ ζ 5υι ι ∀ 思路 ϕ 正交曲线坐标系下若微分矢移 δ λ 只沿 υ 方向即 δ υ ϕ δλ η δυ δ υ δ ξδξ δ ψδ ψ η δυ δ ζδ ζ δυ 则又由多元函数的全微分公式有将上式代入式可得 δξ 5ξ δυ 5υ 5ξ δυ 5υ 5ξ δυ 5υ 5Γ δυ 5υ δψ 5ψ δυ 5υ 5ψ δυ 5υ 5ψ δυ 5υ 5Γ δυ 5υ δζ 5ζ δυ 5υ 5ζ δυ 5υ 5ζ δυ 5υ 5Γ δυ 5υ 月第卷第期易辉跃等两种正交曲线坐标系单位矢量间的一般表达式 5Γ δ ξ η 5υ 5Γ δ ζ η 5υ ϕ 类似地若微分矢移 δ λ 只沿 υ 或 υ 方向则可得到 υδ 和 υδ 其一般式即为式 δ υ 5Γ δ ψ η 5υ 所示∀ 上述公式可得多种正交曲线坐标系与直角坐标系单位矢量间的关系如表表 ∀ 利用正交曲线坐标系与直角坐标系单位矢量间的关系仅提供变换矩阵曲线坐标系两者坐标间的关系 υ υ υ 文献 1 2 圆柱坐标系 ρ Υζ 圆球坐标系 Ρ ΗΥ 单位矢量间的变换矩阵 Μ ξ ρ Υ Υ Υ ψ ρ Υ Υ Υ ζ ζ ξ Ρ Η Υ Η Υ Η Υ Η ψ Ρ Η Υ Η Υ Η Υ Η ζ Ρ Η Υ Υ Ν 椭圆柱坐标系 ΝΓ ζ 抛物柱坐标系 ΦΩ ζ 旋转抛物柱面坐标系 ΦΩ Υ ξ π Ν Γ ψ π Ν Γ ζ ζ Φ ψ ΦΩ ζ ζ ξ ΦΩΥ ψ ΦΩ Ν Γ Ν Ω Φ Φ Υ Ω Ω Φ Ω Φ Ω ξ α Ν Ν ΝΗζ ψ α Ν Η ζ Η Η Ν Η Ν Η Φ Ω Ω Υ Φ Υ Φ Ω Φ Γ Ω Υ Φ Γ Ν Φ ΦΥ Ω Ν Γ Ω Γ Γ Φ Γ Ν Ω ΩΥ Φ 双极坐标系 Ν Ν ξ ζ Γ Φ Ω Ω Υ Ν Η Ν Η Η Ν Η Ν Η Ν Ν Η ζ 注因椭球坐标系和锥面坐标系与直角坐标系间的关系及度量因子的表达式较复杂无法包括在表中故被略去 ∀ 2 2 两种正交曲线坐标系单位矢量间的关系设一种正交曲线坐标系中 π 点的坐标仍为 υ υ υ 曲线坐标系中 π 点的坐标为 υχ υχ υχ 度量因子为 η η η 另一种正交度量因子为 ηχ ηχ ηχ 两正交曲线坐标系中各坐微波学报年月标间满足右手螺旋关系且有以下的单值函数关系 υχ κ υ υ υ υχ κ υ υ υ 或 υ Κ υχ υχ υχ υ Κ υχ υχ υχ κ υ υ υ Κ υχ υχ υχ υ δ δ δ 则一种正交曲线坐标系单位矢量 υχ υ χ υ χ 和另一种正交曲线坐标系单位矢量 υδ υδ υδ 间的 ϕ 对应关系具有式相同的形式∀ 在两种正交曲线坐标系下 π 点的微分矢移 δ λ 分别为 ϕ ο δ δ δ δ δ δ δλ δρ υ η δυ υ η δυ υ η δυ υ χ ηχ δ υχ υ χ ηχ δ υχ υ χ ηχ δ υχ υχ ∗ 将式 δ υχ 推广有 ϕ δλ ηχ δ υχ δ η δυ υ δ η δυ υ ηχ δ υχ δ η δυ υ η 5Κ δ υ ηχ 5υχ η 5Κ δ υ ηχ 5υχ η 5Κ δ υ ηχ 5υχ 类似地可得 υδχ υδχ 的表达式一般地有 η 5Κ δ υ ηχι 5υχι δ υ χι η 5Κ δ υ ηχι 5υχι η 5Κ δ υ ηχι 5υχι ι 所示∀ 利用上述公式可得多种正交曲线坐标系与圆柱坐标系单位矢量间的关系如表表正交曲线坐标系与圆柱坐标系单位矢量间的关系仅提供变换矩阵曲线坐标系两者坐标间的关系 υχ υχ υχ 文献 1 2 圆球坐标系 Ρ ΗΥ ρ Ρ Υ Υ ζ Ρ ρ ΦΩ Υ Υ Η 单位矢量间的变换矩阵 Η Η Η Η Η Ω 旋转抛物柱面坐标系 ΦΩ Υ Φ Ω Ω Φ Ω Φ Ω Φ Φ ζ Φ Φ Ω Ω Υ Ν 长旋转椭球坐标系 ΝΗΥ ρ α Ν Η Ν Ν Υ Υ ζ α Ν Η ρ α Ν Η Υ Υ ζ α Η Ν ΝΗΥ Ν Η Η Ν Ν Η Ν Η Ν Η Ν Η Ν Η Ν Η Ν 扁椭球坐标系 Ν Η Η Η Ν Η Ν Η Ν Η Η Η 第卷第期易辉跃等两种正交曲线坐标系单位矢量间的一般表达式续表曲线坐标系两者坐标间的关系 υχ υχ υχ 文献 1 2 α Ν ρ 双球坐标系 Υ ΝΗΥ 双环坐标系 Η Ν Η α ηΝ Ν Η ρ α Ν α Ν Η Ν Η Ν Ν Ν Η Ν Η Ν Η Ν Η Ν Ν Η Η Η Η Ν Η Ν Ν Η Ν Η Υ ζ Η Ν Υ ζ Υ ΝΗΥ 单位矢量间的变换矩阵 Ν Ν Η ρ Η Ν Η Η Η Η α Η 为导出任何两种曲线坐标系单位矢量间的关系以某种曲线坐标系的单位矢量构成的矢量记为 Αδ 为中介根据其他任何两种曲线坐标系单位矢量构成的矢量记为 Αδ !Αδ 与中介矢量间的关系可导出任何两种曲线坐标系单位矢量间的关系即 δ Α δ Α 其中 Μ !Μ 分别为第式和种和第 δ Μ Α δ Μ Α 种曲线坐标系间的变换矩阵∀ 于是由种曲线坐标系与第得 δ Α Μ Μ δ Α δ Μ ΜχΑ 其中 Μ χ 为 Μ 的转置矩阵∀ 作为例子不妨取第 ! 第与第种曲线坐标系分别为圆柱! 圆球与直角坐标系由表中第一栏的变换矩阵可得圆柱坐标系与直角坐标系间单位矢量的关系为 δ ρ δ Υ δ ζ 而由表将式 Μ δ ξ δ ψ δ ζ Υ Υ Υ Υ δ ξ δ ψ δ ζ 中第二栏的变换矩阵可得圆球坐标系与直角坐标系间单位矢量的关系为 δ Ρ δ Η δ Υ 和 Μ δ ξ δ ψ δ ζ 其中变换矩阵 Μ 即为表 Υ Η Υ Η Η Υ Η Υ Η Υ 提供的关系代入式 δ Ρ δ Η δ Υ Η Υ δ ξ δ ψ δ ζ 即得 Η Η Η Η δ ρ δ Υ δ ζ 中第一栏的变换矩阵∀ 这样由表 δ ρ δ Μ Υ δ ζ 及表中任何两种曲线坐标系微波学报年与直角坐标系或圆柱坐标系单位矢量间的关系通过式月的矩阵运算即可推得任何两种正交曲线坐标系单位矢量间的关系∀ 三! 结语本文采用不同的分析思路导出了曲线坐标系与直角坐标系单位矢量间简明的解析关系并将其解析表达式推广到更一般的情况 ) ) 任何两种正交曲线坐标系单位矢量间的关系∀ 这些表达式推导过程简捷数学概念清晰对无法利用几何投影法直接求单位矢量间关系的坐标系更显其优点∀利用文献上已有的正交曲线坐标系坐标间的单值关系文中提供了正交曲线坐标系与直角坐标系以及两种正交曲线坐标系单位矢量间的变换矩阵∀ 这些结果可直接用于不同坐标系间的矢量分析这是因为不同坐标系中矢量的各分量间满足的关系式与单位矢量间满足的关系式在形式上完全相同即变换矩阵相同 ∀ 参 1 2 ° 文献易辉跃 ° 2 年年毕业于西安电子科技大学电子工程系现在上海交通大学攻读硕士学位 ∀主 ƒ × 1 2 考 ° 要研究方向为电磁场与微波技术 ! 智能天线 ∀ ≠ 唐 ≤ 斌生年毕业于西安电子科技大林为干符果行邬琳若刘仁厚著电磁场理学电子工程系现在上海交通大学攻读博士学位 ∀主论第二版要研究方向为电子对抗中的阵列信号处理 ∀ 北京人民邮电出版社中国电子学会电磁波波速专家工作组第二次全体会议在北京大学举行年 • × 月日在北京大学电子学系举行了中国电子学会电磁波波速专家工作组 × ∞ 2 • √ ∂ ≤ ∏ ∞ ≥ 第二次全体会议 ∀ 会议由专家工作组组长黄志洵教授主持中国电子学会副秘书长李志武研究员参加了会议 ∀ 会议的一项重要内容是讨论国内至今尚属空白的超光速 ! 超慢光速的实验方案 ∀ 近年来玻色 2爱因斯坦凝聚 ∞≤ 和电磁诱导透明 ∞ × 技术在国际上迅速发展 ∀ 报导的超慢光速实验正是运用 ∞≤ 和年在美国工作的丹麦女科学家 ∏所 × 取得的成果 ∀ 正常色散时折射率函数 ν Ξ 在中心频率处的斜率大小将决定波速减慢的程度 ∀ 本次会议选在北大电子学系举行正是考虑到该系王义遒 ! 陈徐宗研究组业已 × 和铯原子光学粘团技术在冷原子方面达到几 Λ 的水平并对掌握了铯原子磁光阱 ∞≤ 开展了理论研究 ∀ 工作组委员陈徐宗教授在他的报告 / 光在原子样品中传播速度研究的若干问题 0 中叙述了国际上的发展和国内包括本研究组的情况 ∀ 委员们还参观了实验室中的激光冷却实验系统对其表示了很大兴趣 ∀ 大家对陈教授的工作给予肯定并呼吁北京大学和国家有关方面给予更多更大的支持 ∀ 此外会议就中国科学院电子学研究所和工作组进行讨论 ∀ 年月日国际著名刊物 5 引起各国科学界的普遍关注 ∀ 年底美国 5≥ 月初邀请旅美青年科学家王力军博士回国讲学一事 ∏ 6 发表了王力军的论文 / 辅助增益的超光速传播 0∀ 此后 6 将该实验评为当年物理学十大新闻之一 ∀会议认为讲学内容涉及到一些科学界广泛关注的问题反映了国际上科学研究的前沿组织此次讲学活动对于国内的与电磁波波速相关的研究会有较大的促进作用因此要认真准备并组织好这项活动 ∀ 会议对王力军提出的两个报告题目 / 反常色散与反常群速度 0!/ 量子光学干涉实验与量子通信 0 表示认可 ∀ 本刊编辑部